Qu'est-ce qu'une matrice carrée inversible ?

Avec une multiplication aussi compliquée que celle des matrices, le calcul d’un inverse de matrice n’est pas une évidence, d’ailleurs il n’existe pas toujours ! Nous ne parlerons que de matrice carrée de taille  \(n\) (c’est-à-dire à  \(n\) lignes et  \(n\) colonnes).

Définition

Soit une matrice carrée  \(A\) de taille \(n\) . On dit que  \(A\) est inversible s’il existe une matrice carrée \(B\)  de taille  \(n\) aussi, telle que \(AB = BA =I_n\) .

Propriété

Si une matrice carrée  \(A\) de taille  \(n\) est inversible, alors la matrice carrée  \(B\) de taille  \(n\) aussi, telle que  \(AB = BA = I_n\) est unique, et on la note \(A^{-1}\) .

Remarque

Il n'y a pas toujours existence d'une matrice inverse mais, quand l'inverse d'une matrice existe, elle est unique : c'est la seule matrice  \(B\)  à vérifier la formule  \(AB = BA =I_n\) .